Cho các số a, b, b, x, y, z thỏa mãn: \(a+b+c=0\) , \(x+y+z=0\) , \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\)
Chứng minh rằng: \(ax^2+by^2+cz^2=0\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
23 tháng 5 2019
Từ \(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=-\left(b+c\right)\\b=-\left(a+c\right)\\c=-\left(a+b\right)\end{cases}}\)
Từ \(x+y+z=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-\left(y+z\right)\\y=-\left(x+z\right)\\z=-\left(x+y\right)\end{cases}}\)
Thay vào \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{-\left(b+c\right)}{-\left(y+z\right)}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\)
\(\Rightarrow2byz+2cyz+bz^2+cy^2=0\)
\(\Rightarrow-\left(b+c\right).-\left(y+z\right)^2+by^2+cz^2=0\)
\(\Rightarrow\text{ax}^2+by^2+cz^2=0\)(dpcm)
Suy ngược nha k chắc
23 tháng 5 2019
từ x + y + z = 0 suy ra x2 = ( y + z )2 , y2 = ( x + z )2 , z2 = ( x + y )2
do đó :
ax2 + by2 + cz2 = a ( y + z )2 + b ( x + z )2 + c ( x + y )2
= a ( y2 + 2yz + z2 ) + b ( x2 + 2xz + z2 ) + c ( x2 + 2xy + y2 )
= x2 ( b + c ) + y2 ( a + c ) + z2 ( a + b ) + 2 ( ayz + bxz + cxy ) ( 1 )
thay b + c = -a ; a + c = -b ; a + b = -c do a + b +c = 0 và thay ayz + bxz + cxy = 0 do \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\)vào ( 1 )
Ta được : ax2 + by2 + cz2 = -ax2 - by2 - cz2
nên 2 ( ax2 + by2 + cz2 ) = 0 \(\Rightarrow\)ax2 + by2 + cz2 = 0
13 tháng 8 2017
Câu hỏi của Momozono Nanami - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
1 tháng 9 2017
ta có x+y+z=0 =>x^2=(y+z)^2
y^2=(x+z)^2
z^2=(x+y)^2
do đó ax^2+by^2+cz^2
=a(y+z)^2+b(x+z)^2+c(x+y)^2
=a(y^2+2yz+z^2)+b(x^2+2xz+z^2)
+c(x^2+2xy+y^2)
=x^2(b+c)+y^2(a+c)+z^2(a+b)
+2(ayz+bxz+cxy) (1)
thay b+c=-a ,a+c=-b , a+b=-c do a+b+c=0
và ayz+bxz+cxy=0 do a/x+b/y+c/z=0 vào (1) ta được
ax^2+by^2+cz^2 = -(ax^2+by^2+cz^2)
=> ax^2+by^2+cz^2=0
KC
3
30 tháng 5 2015
Ta có x+y +z =0 =>x^2 =(y+z)^2 ;y^2=(x+z)^2;z^2=(y+x)^2
=>ax^2+by^2+cz^2=a(y+z)^2+b(x+z)^2+c(y+x)^2
=>(b+c)x^2+(a+c)y^2+(a+b)z^2+2(ayz+bxz+cyz) (1)
Tu a+b+c=0=>-a=b+c;-b=a+c;-c=a+b (2)
Tu a/x+b/y+c/x =0=>ayz+bxz+cxy/xyz=0=>ayz+bxz+cxy = 0 (3)
Thay (2) va (3 ) va (1) ta dc :ax^2+by^2+cz^2=-(ax^2+by^2+cz^2)=>ax^2+by^2+cz^2=0
(Hai số đối nhau mà bằng nhau chỉ có số 0)
20 tháng 1 2016
Cộng vế với vế của ba đẳng thức ta đc :
\(x+y+z=2\left(ax+by+cz\right)\Rightarrow ax+by+cz=\frac{x+y+z}{2}\) (*)
Lấy (*) - (1) ta có : \(ax+by+cz-\left(by+cz\right)=\frac{x+y+z}{2}-x\)
<=> \(ax=\frac{y+z-x}{2}\Leftrightarrow a=\frac{y+z-x}{2x}\Rightarrow a+1=\frac{y+z-x}{2x}+1=\frac{x+y+z}{2x}\)
=> \(\frac{1}{a+1}=\frac{2x}{x+y+z}\)
CMTT với 1/b+1 và 1/c+1
=> ĐPCM
AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 3 2020
Bài 1:
a) Từ đkđb:
$x+y+z=0\Rightarrow x+y=-z; y+z=-x; z+x=-y$
$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=0\Rightarrow xbc+yac+zab=0$
$a+b+c=0\Rightarrow a=-(b+c)\Rightarrow a^2=(b+c)^2$
$\Rightarrow a^2x=(b+c)^2x$.
Tương tự: $b^2y=(a+c)^2y; c^2z=(a+b)^2z$
Do đó:
$a^2x+b^2y+c^2z=(b+c)^2x+(a+c)^2y+(a+b)^2z=a^2(y+z)+b^2(z+x)+c^2(x+y)+2(xbc+yac+zab)$
$=a^2(-x)+b^2(-y)+c^2(-z)+2.0=-(a^2x+b^2y+c^2z)$
$\Rightarrow 2(a^2x+b^2y+c^2z=0$
$\Rightarrow a^2x+b^2y+c^2z=0$ (đpcm)
b)
\(\left\{\begin{matrix} x=by+cz\\ y=ax+cz\\ z=ax+by\end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{x+y+z}{2}=ax+by+cz\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} ax=\frac{x+y+z}{2}-x=\frac{y+z-x}{2}\\ by=\frac{x+y+z}{2}-y=\frac{x+z-y}{2}\\ cz=\frac{x+y+z}{2}-z=\frac{x+y-z}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{y+z-x}{2x}\\ b=\frac{x+z-y}{2y}\\ c=\frac{x+y-z}{2z}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+1=\frac{y+z+x}{2x}\\ b+1=\frac{x+z+y}{2y}\\ c+1=\frac{x+y+z}{2z}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=\frac{2x}{x+y+z}+\frac{2y}{x+y+z}+\frac{2z}{x+y+z}=2\) (đpcm)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 3 2020
Bài 2:
Đặt $\frac{a_2}{a_1}=x; \frac{b_2}{b_1}=y; \frac{c_2}{c_1}=z$
Khi đó bài toán trở thành: Cho $x,y,z\neq 0$ thỏa mãn \(\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\\ x+y+z=1\end{matrix}\right.\)
CMR: $x^2+y^2+z^2=1$
-----------------------------------
Thật vậy:
Ta có: \(\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\\ x+y+z=1\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} xy+yz+xz=0\\ x+y+z=1\end{matrix}\right.\)
Khi đó: $x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)=1^2-2.0=1$ (đpcm)
Vậy........
Ta có : \(x+y+z=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-\left(y+z\right)\\y=-\left(z+x\right)\\z=-\left(x+y\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2=\left(y+z\right)^2\\y^2=\left(z+x\right)^2\\z=\left(x+y\right)^2\end{cases}}\)
\(\Rightarrow ax^2+by^2+cz^2=a\left(y+z\right)^2+b\left(z+x\right)^2+c\left(x+y\right)^2\)
\(=ay^2+az^2+bz^2+bx^2+cx^2+cy^2+2\left(ayz+bzx+cxy\right)\)
\(=x^2\left(b+c\right)+y^2\left(c+a\right)+z^2\left(a+b\right)+2\left(ayz+bzx+cxy\right)\left(1\right)\)
Từ \(a+b+c=0\) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}b+c=-a\\c+a=-b\\a+b=-c\end{cases}}\)
Thay vào \(\left(1\right)\), ta được :
\(ax^2+by^2+cz^2=-ax^2-by^2-cz^2+2\left(ayz+bzx+cxy\right)\)
Ta có : \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\)\(\Rightarrow ayz+bzx+cxy=0\)
\(\Rightarrow ax^2+by^2+cz^2=-ax^2-by^2-cz^2\)
\(\Rightarrow2\left(ax^2+by^2+cz^2\right)=0\)
\(\Rightarrow ax^2+by^2+cz^2=0\left(đpcm\right)\)